Konvergenčna območja iteracijskih metod

Za reševanje nelinearnih enačb so najbolj pogosto uporablja iteracijske metode, pri katerih približek za rešitev konstruiramo z rekurzivno formulo. Konstrukcija rekurzivnega zaporedja zagotavlja, da je limita zaporedja približkov vedno rešitev enačbe. Glavna težava je, če zaporedje sploh konvergira in h kateri rešitvi konvergira. To je v veliki meri odvisno od začetnega približka in lastnosti funkcije v okolici rešitve.

Kompleksni koreni enote

Kot primer si poglejmo enačbo za kompleksne korene enote. Vemo, da ima enačba

\[z^n = 1\]

\[n\]

kompleksnih rešitev, ki ležijo enakomerno razporejene na enotskem krogu. Poglejmo si, kako konvergira Newtonova metoda, v odvisnosti od začetnega približka.

using NumMat
using Plots
n = 3
f(z) = z^(n)-1
df(z) = n*z^(n-1)
metoda((x, y); maxit=20, tol=1e-3) = newton(f, df, x + y*im; maxit=maxit, tol=tol)
meje = (-2, 2, -2, 2)
x, y, Z = konvergencno_obmocje(meje, metoda, n=500, m=500)
heatmap(x, y, Z', title="Konvergenca newtonove metode")
savefig("01_konvergenca.png")

/root/.julia/packages/GR/yMV3y/src/../deps/gr/bin/gksqt: error while loading shared libraries: libQt5Widgets.so.5: cannot open shared object file: No such file or directory
connect: Connection refused
GKS: can't connect to GKS socket application

GKS: Open failed in routine OPEN_WS
GKS: GKS not in proper state. GKS must be either in the state WSOP or WSAC in routine ACTIVATE_WS

Konvergenca newtonove metode

NumMat.konvergencno_obmocje — Method

x, y, Z = konvergencno_obmocje(obmocje, metoda; n=50, m=50, maxit=50, tol=1e-3)

Izračuna, h katerim vrednostim konvergira metoda metoda, če uporabimo različne začetne približke.

Primer

Konvergenčno območje za Newtonovo metodo za kompleksno enačbo $z^3=1$

julia> F((x, y)) = [x^3-3x*y^2; 3x^2*y-y^3];
julia> JF((x, y)) = [3x^2-3y^2 -6x*y; 6x*y 3x^2-3y^2]
julia> metoda(x0) = newton(F, JF, x0; maxit=10; tol=1e-3);

julia> x, y, Z = konvergencno_obmocje((-2,2,-2,2), metoda; n=5, m=5); Z
5×5 Array{Float64,2}:
 1.0  1.0  2.0  3.0  3.0
 1.0  1.0  2.0  3.0  3.0
 1.0  1.0  0.0  3.0  3.0
 2.0  2.0  2.0  2.0  2.0
 2.0  2.0  2.0  2.0  2.0

source

NumMat.newton — Method

x, it = newton(f, df, x0; maxit=100, tol=1e-12)

Poišči ničlo funkcije f z Newtonovo metodo. Če Newtonova metoda ne konvergira naj metoda vrne par nothing, maxit.

Primer

Poiščimo $\sqrt{2}$ kot ničlo funkcije $f(x)=x^2-2$:

julia> newton(x->x^2-2, x->2x, 1.5)
(1.4142135623730951, 4)

source