Edit on GitLab

Aproksimacija s polinomi Čebiševa

Weierstrassov izrek pravi, da lahko poljubno zvezno funkcijo na končnem intervalu enakomerno na vsem intervalu aproksimiramo s polinomi. Polinom dane stopnje, ki neko funkcijo najbolje aproksimira je težko poiskati. Z razvojem funkcije po ortogonalnih polinomih Čebiševa, pa se optimalni aproksimaciji zelo približamo. Naj bo $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ zvezna funkcija. Potem lahko $f$ zapišemo z neskončno vrsto

\[f(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nT_n(t),\]

kjer so $T_n$ polinomi Čebiševa. Polinomi Čebiševa so definirani z relacijo

\[T_n(\cos(\phi))=\cos(n\phi)\]

in zadoščajo dvočlenski rekurzivni enačbi

\[T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).\]

Namesto cele vrste, lahko obdržimo le prvih nekaj členov in funkcijo aproksimiramo s funkcijo oblike

\[f(x)\sim \sum_{n=0}^N a_nT_n(x).\]

Iščemo torej koeficiente funkcije $f(x)$ v razvoju po $T_n$.

\[\begin{equation} a_k = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 \frac{f(x) T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx, \end{equation}\]

kjer za $k=0$ faktor $\frac{2}{\pi}$ zamenjamo z $\frac{1}{\pi}$. Koeficiente lahko približno izračunamo z gaussovimi kvadraturnimi formulami.

Koeficiente Čebiševe vrste natančneje računamo s FFT

Na vajah bomo koeficiente $a_n$ računali približno z gaussovimi kvadraturnimi formulami. V praksi je mogoče koeficiente $a_k$ izračunati bolj natančno z diskretno Fourierovo kosinusno transformacijo funkcijskih vrednosti v Čebiševih interpolacijskih točkah.

Primer

Uporabimo Čebiševo vrsto za implementacijo funkcije $\arctan(x)$. Definicijsko območje so vsa realna števila, zato si pomagamo z enakostjo

\[\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)= \begin{cases}\frac{\pi}{2}; x>0\cr -\frac{\pi}{2}; x < 0 \end{cases}\]

tako da lahko funkcijo računamo le na intervalu $[-1,1]$.

using NumMat, Plots
catan = chebfun(atan, -1, 1)
println("Stopnja aproksimacijskega polinoma: ", stopnja(catan))
plot(x->catan(x)-atan(x), -1, 1, title="Napaka aproksimacije funkcije arkus tangens.")

Povezave

Koda

NumMat.chebfun — Method
chebfun(fun, a, b, n)

vrne razvoj funkcije po Čebiševih polinomih stopnje največ n na intervalu [a, b]

source
NumMat.chebkoef — Method
fp = chebkoef(fun,n)

izračuna koeficiente v razvoju funkcije fun na intervalu [-1,1] po Čebiševih polinomih stopnje največ n.

source
NumMat.chebval — Method
y = chebval(p,x)

izračuna vrednost polinoma, ki je podan v Čebiševi bazi p(x) = p(1)T0(x) + p(2)T1(x) + ... + p(n+1)Tn(x)

julia> p = [2 0 -1]; t = LinRange(-1, 1, 100);

julia> @assert chebval([0,0,1],t) ≈ 2t.^2 - 1
source