Interpolacija z implicitnimi funkcijami

Radialne bazne funkcije (RBF) so funkcije, katere vrednosti so odvisne od razdalje do izhodiščne točke $f(\vec{x}) = \varphi(\|\vec{x}-\vec{x}_0\|)$ Uporabljajo se za interpolacijo ali aproksimacijo s funkcijo oblike $\sum_i w_i\varphi(\|\vec{x}-\vec{x}_i\|),$ npr. za rekonstrukcijo 2D in 3D oblik v računalniški grafiki. Funkcija $\varphi$ je navadno pozitivna soda funkcija zvončaste oblike in jo imenujemo funkcija oblike.

Podan je 2D ali 3D oblak točk $\{\vec{x}_1, \ldots \vec{x}_n\}$ in realne vrednosti $\{f_1, \ldots, f_n\}$. Napiši funkcijo, ki interpolira omenjene podatke s funkcijo oblike

To pomeni, da poiščeš vrednosti uteži $w_i$ tako, da bodo izpolnjene enačbe $F(\vec{x_i}) = f_i.$

Naloga

Napiši dve funkciji:

• w = koeficienti_rbf(phi, x0, f), ki poišče vrednosti uteži, če so podane funkcija oblike phi, oblak točk podan z matriko x0 in tabela vrednosti f.
• z = vrednost_rbf(x, w, x0), ki izračuna vrednost

$F(\vec{x})\sum_i w_i\varphi(\|\vec{x}-\vec{x}_i\|)$ za argument x, pri čemer je w vektor uteži $w_i$, x0 pa oblak točk, podan kot matrika.

Funkciji uporabi za interpolacijo točk v ravnini z implicitno podano krivuljo, kot v naslednjem primeru:

using Plots
fi = range(0, 2π, length=6)
tocke = [2(1-cos(t)).*(cos(t), sin(t)) for t in fi]
scatter(tocke)
f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 + 4x*(x^2 + y^2) - 4y^2
x = y = range(-4, 4, length = 100)
contour!(x, y, f, levels = [0])

Točke ležijo na nivojnici funkcije $f(x,y) = (x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 + y^2) - 4y^2$ za nivo $f(x, y)=0$.

Danes bomo spoznali

1. kako napisatni sistem enačb za praktičen primer
2. primerno izbiro metode za reševanje
3. implementacija v programskem jeziku in težave

Opis krivulj z implicitno interpolacijo

Iz množice točk želimo rekonstruirati krivuljo, ki gre skozi te točke. Krivulje v ravnini lahko opišemo na različne načine

1. eksplicitno: $y=f(x)$
2. parametrično: $(x,y) = (x(t),y(t))$
3. implicitno z enačbo $F(x,y)=0$

Tokrat se bomo posvetili implicitni predstavitvi krivulje.

Problem

Imamo točke v ravnini s koordinatami $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots, (x_n,y_n)$. Iščemo krivuljo, ki gre skozi vse točke. Po možnosti naj bo krivulja gladka, poleg tega ni nujno, da do zaporedne točke v seznamu, tudi zaporedne točke na krivulji. Krivuljo iščemo v implicitni obliki, torej v obliki enačbe

Iskano krivuljo bomo zapisali kot ničto nivojnico neke funkcije $F(x,y)$. Iščemo torej funkcijo $F(x,y)$, za katero velja

Ta pogoj žal ne zadošča. Dodamo moramo še nekaj točk, ki so znotraj območja omejenega s krivuljo. Označimo jih z $(x_{n+1},y_{n+1}),\ldots,(x_m,y_m)$, v katerih predpišemo vrednost $1$

Naloga

Napiši program, ki za dane točke poišče interpolacijsko funkcijo oblike

kjer so

• $\mathbf{x} = (x,y)$
• $P(\mathbf{x})$ polinom stopnje 1 (linearna funkcija v $x$ in $y$)
• $d_i$ primerno izbrane uteži.
• $\phi$ radialna bazna funkcija, ki je odvisna zgolj od razdalje do i-te točke $r = \|\mathbf{x}-\mathbf{x}_i\|$.
  • "thin plate": $\phi(r)=|r|^2\log(|r|)$ za 2D in $\phi(r)=|r|^3$ za 3D
  • Gaussova: $\phi(r)=\exp(-r^2/\sigma^2)$
  • racionalni približek za Gaussovo

Časovna in prostorska zahtevnost

• zgraditev matrike: $\mathcal{O}(n^2)$
• rešitev sistema: $\mathcal{O}((n^2))$, če uporabimo iteracijske metode
• računanje vrednosti funkcije: $\mathcal{O}(n)$

RBF s kompaktnim nosilcem

Matrika sistema, če uporabimo klasične RBF iz prejšnjega razdelka je polna. Čeprav je večina členov izven diagonale zelo majhnih npr. pri gaussovi RBF. Zato so [Morse et. all]@ref(Povezave) prišli na idejo, da uporabijo RBF s kompaktnim nosilcem. V tem primeru je matrika precej bolj redka in se tako prostorska kot tudi časovna zahtevnost algoritmov bistveno zmanjšata.

Povezave

• Savchenko V. V., Pasko, A. A., Okunev, O. G. and Kunii T. L. Function representation of solids reconstructed from scattered surface points and contours, Computer Graphics Forum 14(4) (1995),pdf
• G. Turk and J. O'Brien, Variational Implicit Surfaces, Technical Report GIT-GVU-99-15, Georgia Institute of Tech-nology, 1998.pdf
• Morse, B. S., Yoo, T. S., Rheingans, P., et al. Interpolating implicit surfaces from scattered surface data using compactly supported radial basis functions, SMI 2001 International Conference on Shape Modeling and Applications, Genova Italy, (2001) pdf