Populacijska dinamika
Reševanje sistemov navadnih diferencialnih enačb
Reševanje sistemov se ne razlikuje bistveno od reševanja ene same enačbe. Rešujemo sistem $k$ enačb
z začetnim pogojem $y_i(t_0)=y_{i0}$. Sistem lahko zapišemo kot eno samo vektorsko enačbo. Če označimo z $Y=[y_1,y_2,\ldots,y_k]$ in z $F(Y,t)=[f_1,f_2,\ldots,f_k]$, lahko sistem enačb zapišemo v vektorski obliki
Za reševanje vektorske enačbe lahko uporabimo povsem iste formule kot za eno samo skalarno enačbo.
Iskanju rešitve za diferencialno enačbo
ki zadošča pogoju $y(t_0)=y_0$ v določenem času $t_0$, pravimo začetni problem za diferencialno enačbo [1]. Numerične metode za reševanje začetnega problema bolj ali manj delujejo po istem principu. Začetni pogoj poda vrednost v točki $t_0$. Najprej izračunamo vrednost $y(t)$ v točki $t_1=t_0+h$, ki je blizu $t_0$. Vrednost $y(t_0+h)$ lahko zapišemo z integralom
Ker rešitve $y(t)$ ne poznamo, lahko vrednost integrala izračunamo le približno in tako dobimo približek za vrednost $y_1 = y(t_0+h)$. Isti postopek lahko nato ponovimo za začetni problem z začetnimi pogoji $y(t_1)=y_1$ in izračunamo približek za $y(t_1+h_1)$. To ponavljamo, dokler ne dosežemo končne vrednosti $t_n$.
Eulerjeva metoda
Ogledali si bomo preprosto numerično metodo za reševanje začetnega problema imenovano Eulerjeva metoda.
Iščemo rešitev NDE $y'=f(y,t)$ z začetnim pogojem $y(x_0)=y_0$ na intervalu $[t_0,t_k]$. Izberimo si končno mnogo točk
Z Eulerjevo metodo izračunamo zaporedje približkov $y_i$ za $y(x_i)$ z rekurzivno formulo
Pogosto vzamemo ekvidistančne točke in fiksen korak $h_n=h$.
Opomba: Eulerjeva metoda je 1. reda, kar pomeni, da napaka zelo počasi pada (sorazmerno s $h$), ko manjšamo korak $h$. Zato se v praksi redko uporablja, saj obstajajo metode višjih redov (4,5,6), kjer je hitrost konvergence bistveno večja.
Implicitne metode
Poglejmo si, kaj dobimo, če integral \eqref{eq:integral} izračunamo s trapezno formulo za $t_1 = t_0 +h$
Vrednost $y_1=y(t_1)$, ki jo želimo izračunati nastopa tudi na desni strani enačbe in je tako ne moremo izračunati eksplicitno. Lahko pa poiščemo rešitev enačbe \eqref{eq:trapez} numerično. Če je $h$ dovolj majhen bo konvergirala že navadna iteracija podana z enačbo \eqref{eq:trapez}.
Numerične metode, pri katerih približek ni podan eksplicitno s formulo ali zaporedjem približko, ampak kot rešitev enačbe imenujemo implicitne metode.
Poleg začetnega problema, lahko za dano diferencialno enačbo rešujemo tudi robni problem, kjer so
pogoji podani v dveh različnih točkah $a$ in $b$. Pri robnih problemih iščemo rešitev znotraj intervala $[a, b]$.
Primer: Lotka-Volterra
Poskusimo rešiti začetni problem za sistem enačb Lotka-Volterra
za parametre $\alpha=\beta=\gamma=1$ in $\delta=2$ in začetnim pogojem $x(0)=y(0)=1$
Red metode
Če rešujemo začetni problem za NDE na fiksnem intervalu $[t_0,t_k]$, napaka približka pada s potenco $h$
Eksponent $r$ v potenci $h^r$ imenujemo red metode. Red metode lahko določimo numerično.
Če za enačbo oziroma sistem enačb $y'(t) = f(y(t), t)$ funkcija $f$ ni eksplicitno odvisno od $t$, se pravi da je $y' = f(y,t) = f(y)$, potem sistem imenujemo avtonomen sistem. V resnici lahko vsak sistem
preprosto razširimo v avtonomen sistem preprosto tako, da dodamo $t$ kot še eno komponento $y_{k+1} = t$ vektorju $y$ in dobimo sistem, kjer $t$ ne nastopa eksplicitno